క్యాలెండర్

గడియారాలు(Watches)క్యాలెండర్(Calendar)

* గడియారం సాధారణంగా వృత్తాకారంలో ఉంటుంది.
* గడియారం ముఖం 12 భాగాలుగా విభజితమై ఉంటుంది.
* గడియారంలోని ముల్లుల్లో చిన్నముల్లు గంటలను, పెద్దముల్లు నిమిషాలను సూచిస్తాయి.
* పెద్దముల్లు అంటే నిమిషాల ముల్లు ఒక గంటలో పూర్తిగా ఒక చుట్టు తిరుగుతుంది.
* పెద్దముల్లు 60 నిమిషాల్లో ఒక సంపూర్ణ కోణం అంటే 360º తిరుగుతుంది.
కాబట్టి 60 నిమిషాల్లో 360º తిరుగుతుంది.
1 నిమిషంలో = 360/60 = 6° తిరుగుతుంది
* చిన్నముల్లు అంటే గంటల ముల్లు 12 గంటల్లో ఒకపూర్తి చుట్టు తిరుగుతుంది. అంటే 12 గంటల్లో 360º తిరుగుతుంది.
1 గంటలో = 360/12 = 30° తిరుగుతుంది
1 నిమిషంలో = 30/60 = 1/2° తిరుగుతుంది
* ఒక నిమిషం కాలంలో నిమిషాల ముల్లు, గంటల ముల్లు కంటే లు అధికంగా తిరుగుతుంది.
* గంటల ముల్లు, నిమిషాల ముల్లుల వేగాల నిష్పత్తి
1/2° : 6° = 1:12 

రైల్వే టైమింగ్స్ :
* రైల్వే టైమింగ్స్ 24 గంటలు సూచిస్తాయి.
* 0 గంటలు అంటే రాత్రి 12 గంటలకు సమానం.
ఉదా: ఒక రైల్వే స్టేషన్‌లో గడియారం 15 : 50 గంటలు సూచిస్తే సాధారణ గడియారంలో సమయమెంత?
15:50 - 12:00 = 3:50 P.M.
Note:> రాత్రి 12 గంటల సమయం నుంచి మధ్యాహ్నం 12 గంటల సమయం వరకు After Meridian (జ.M.) గా, మధ్యాహ్నం 12 గంటల సమయం నుంచి రాత్రి 12 గంటల సమయం
వరకు Post Meeridian (P.M) గా సూచిస్తారు.
* 0:30 గంటలు అంటే రాత్రి 12:30 లకు సమానం.
* 60 నిమిషాల వ్యవధిలో నిమిషాల ముల్లు 60 నిమిష భాగాలు తిరుగుతుంది. అదే సమయంలో గంటల ముల్లు 5 నిమిష భాగాలు మాత్రమే తిరుగుతుంది. దీన్ని బట్టి నిమిషాల ముల్లు 60 నిమిషాల వ్యవధిలో గంటల ముల్లు కంటే 55 నిమిష భాగాలు అధికంగా తిరుగుతుంది.
* గంటల ముల్లుకంటే, నిమిషాల ముల్లు 55 నిమిష భాగాలు అధికంగా తిరగడానికి పట్టే సమయం 60 నిమిషాలు అంటే 1 గంట.
55 నిమిష భాగాలు తిరగడానికి - 60 నిమిషాలు పడుతుంది.
కాబట్టి ఒక నిమిష భాగం తిరగడానికి 60/55 అంటే 12/11 నిమిషాలు పడుతుంది.
* ఒక రోజులో 2 ముల్లులు 22 సార్లు ఏకీభవిస్తాయి. అంటే ముల్లుల మధ్యకోణం 0º.
* ఒక రోజులో 2 ముల్లులు 22 సార్లు సరళ కోణాన్ని అంటే 180º లను ఏర్పరుస్తాయి. అంటే గడియారంలో ముల్లులు వ్యతిరేక దిశలో ఉంటాయి.
* ఒక రోజులో 2 ముల్లులు 44 సార్లు లంబకోణం అంటే 90ºలు ఏర్పరుస్తాయి.
* ఒక రోజులో 2 ముల్లులు ఏ ఇతర కోణమైనా అంటే 0º, 180ºలు కాకుండా(0º< θ < 180º) 44 సార్లు ఏర్పరుస్తాయి.
* రెండు ముల్లుల మధ్య కోణం 0º లేదా 180º అయితే అవి రెండూ ఒకే సరళరేఖపై ఉంటాయి.

Q. 5, 6 గంటల మధ్య ఏ సమయంలో నిమిషాల ముల్లు గంటల ముల్లుతో ఏకీభవిస్తుంది?
జ.  h, h + 1 గంటల మధ్య రెండు ముల్లులు hగంటల 60 h/11 నిమిషాలకు ఏకీభవిస్తాయి.
60h/11 = 60x5/11 = 300/11 = 27 3/11 నిమిషాలు అవుతుంది
రెండు ముల్లులు 5 గం.ల 27 3/11 నిమిషాలకు ఏకీభవిస్తాయి.
Model II
Q. 5, 6 గంటల మధ్య ఏ సమయంలో నిమిషాలముల్లు, గంటలముల్లు మధ్య కోణం 90ºలు ఉంటుంది?
జ. 5, 6 గంటల మధ్య రెండు సందర్భాల్లో రెండు ముల్లుల మధ్యకోణం 90ºలు ఉంటుంది.
   5 గంటలకు రెండు ముల్లుల మధ్య కోణం 5 × 30 = 150º
Case (i) θ = 150º -90º = 60º
T = 2/11 X60 = 120/11 =10 10/11
T= 5 గంటల 10 10/11 నిమిషాలకు
Case (ii) = 150º + 90º = 240º
T = 2/11 x240 = 480/11 = 43 7/11
= 5 గంటల 43 7/11 నిమిషాలకు








Q. సోమవారం ఉదయం 8 గంటలకు ఒక గడియారం 10 నిమిషాలు ఆలస్యంగా తిరుగుతుంది. అదే గడియారం ఆదివారం ఉదయం 8 గంటలకు 20 నిమిషాలు ముందుగా తిరుగుతుంది. అయితే ఆ గడియారం సరైన సమయాన్ని ఎప్పుడు సూచిస్తుంది?
జ. సోమవారం ఉదయం 8 గంటలకు 10 ని.లు ఆలస్యంగా తిరుగుతుంది. అంటే L = 10
  ఆదివారం ఉదయం 8 గంటలకు 20 ని.లు ముందు తిరుగుతుంది. అంటే G = 20
   గడియారం సరైన సమయం సూచించడానికి సూత్రం = L/L+Gx మొత్తం గంటలు
మొత్తం గంటలు = 6 రోజులు x24
= 10/10+20x144
= 48 గంటలు = 2 రోజులుకు అనగా బుధవారం 8 గంటలకు
  సోమవారం ఉదయం 8 గంటల తర్వాత నుంచి 48 గంటలు అంటే బుధవారం ఉదయం 8 గంటలకు సరైన సమయాన్ని సూచిస్తుంది.








  గమనిక: రెండు ముల్లుల మధ్య సరళకోణం అంటే 180º ఉండాలంటే వాటి మధ్య 30 నిమిషభాగాల తేడా ఉంటుంది.
  రెండు ముల్లుల మధ్య సరళకోణం ఉండే సమయం కనుక్కోవడానికి సూత్రాలు
T =Ax30-180x 2/11; A>6
T =Ax30+180x 2/11; A<6
Q. 3,4 గంటల మధ్య ఏ సమయంలో రెండు ముల్లులు ఒకే సరళరేఖలో ఉంటాయి?
జ. 3 < 6 కాబట్టి
T =3x30+180x2/11 = 90-180x2/11
=270x2/11 =540/11 =49 1/11
5 గంటల 49 1/11 నిమిషాలు రెండు ముల్లులు ఒకే సరళరేఖపై ఉంటాయి.
Q. 7, 8 గంటల మధ్య ఏ సమయంలో రెండు ముల్లులు ఒకే సరళరేఖలో ఉంటాయి?
జ. 7 > 6 కాబట్టి
   T =7x30-180x2/11 =210-180x 2/11
=30x2/11 =60/11 = 55/11
అంటే 7 గంటల 5 5/11 ని.లకు రెండు ముల్లుల మధ్య కోణం 180º డిగ్రీలు ఉంటుంది. అంటే అవి ఒకే సరళరేఖలో ఉంటాయి.











  గమనిక: రెండు ముల్లుల మధ్య కోణం θ అయితే θ = |30H - 11/2 m!,H గంటలను, M నిమిషాలను సూచిస్తాయి.
Q. సమయం 7 గంటల 10 నిమిషాలు అయితే రెండు ముల్లుల మధ్య కోణం ఎంత?
జ. H = 7; M = 10
θ = |30x7 - 11/2x10|= |210 - 55| =155º
సమయం 7 గంటల 10 ని.లు అయితే రెండు ముల్లుల మధ్య కోణం 155º డిగ్రీలు.
Model - VI
Q. గడియారంలో సమయం 7:45 గంటలు సూచిస్తే అద్దంలో ప్రతిబింబ సమయమెంత?
జ. అద్దంలో ప్రతిబింబ సమయం
   = 12 గంటలు - గడియారంలో నిజకాలం
   = 12:00- 7:45 = 4 : 15
   కాబట్టి అద్దంలో ప్రతిబింబ సమయం 4 గంటల 15 ని.లు సూచిస్తుంది.









Q. సెకన్ల ముల్లు 240º తిరిగిన సమయంలో నిమిషాల ముల్లు ఎన్ని డిగ్రీలు తిరుగుతుంది?
జ. ఇచ్చిన కోణాం/60
= 240/60 = 4º
నిమిషాల ముల్లు 4º లు తిరుగుతుంది.
Q.సెకన్ల ముల్లు 240º తిరిగిన సమయంలో గంటల ముల్లు ఎన్ని డిగ్రీలు తిరుగుతుంది?
జ. ఇచ్చిన కోణాం/12
= 240/12 = 20
కాబట్టి గంటల ముల్లు 20º డిగ్రీలు తిరుగుతుంది.

క్యాలెండర్(Calendar)

*ఏదైనా సాదారణ సంవత్సరంలో మొత్తం 365 రోజులు ఉండును.
52 వారాలు+1రోజు అదనపు రోజు
*ఏదైనా ఒక లీపు సంవత్సరంలో 366 రోజులు ఉండును.
52 వారాలు+2 అదనపు రోజులు
*యివ్వబడిన సంవత్సరం లీపు సంవత్సరం కావలెనన్న ఆ సంవత్సరంలోని చివరి 2 సంఖ్యలు 4 చె భాగించబడవలెను.కాని శతాబ్ధంతో మొదలయ్యే సంఖ్య వచ్చిన 400 చే భాగించబడవలెను .
ఉదా: 1856, 1992,200,1600
*ఒక నెలలో 28/29/30/31 రోజులు ఉండును
*క్యాలెండర్ లోని మొదటి తేది జనవరి1 ఒకటవ శతాబ్ధం సోమవారం తో ప్రారంభం అయ్యింది.
*B.C అనగా(క్రీ.పూర్వం ).
*జ.D అనగా (క్రీ.శకం)
*28 రోజులు కలిగిన నెలలో 4 వారాలు 0 అదనపు రోజులు ఉండును.
*29 రోజులు కలిగిన నెలలో 4 వారాలు 1 అదనపు రోజులు ఉండును.
*30రోజులు కలిగిన నెలలో 4 వారాలు 2 అదనపు రోజులు ఉండును.
*31 రోజులు కలిగిన నెలలో 4 వారాలు 3 అదనపు రోజులు ఉండును.
అదనపు రోజులు: ఇచ్చిన రోజులని 7 చే భాగించినపుడు వచు శేషమే అదనపు రోజులు.
ఉదా: 45 రోజులకు 3 అదనపు రోజులు ఉండును
odd days(అదనపు రోజులు) :0,1,2,3,4,5,6 వరకు ఉండును
వారాలకు కోడులు:
ఆదివారం - 0
సోమవారం - 1
మంగళవారం - 2
బుదవారం - 3
గురువారం - 4
శుక్రవారం - 5
శనివారం - 6
తరువాత అంటే ± రాయాలి
క్రితం అంటే - రాయాలి
నెలలకు కోడులు :
జనవరి- 0
ఫిబ్రవరి - 3
మార్చి- 3
ఏప్రియల్ - 6
మే - 1
జూన్ - 4
జులై - 6
ఆగష్టు - 2
సెప్టెంబర్ - 5
అక్టొబర్ - 0
నవంబర్ - 3
డిసెంబర్ - 5

శతాబ్ధపు కొడ్స్ :
1500 నుండి 1599 వరకు -0
1600 నుండి 1699 వరకు -6
1700 నుండి 1799 వరకు -4
1800 నుండి 1899 వరకు -2
1900 నుండి 1999 వరకు -0
2000 నుండి 2099 వరకు -6
2100 నుండి 2199 వరకు -4...
Q. 07-03-2017 నాడు ఏమి వారం?
జ. సూత్రం : తేది+సం.పు చివరి రెండు అంకెలు +నెల కోడ్+శతాబ్ధం కోడ్+(సం.పు చివరి రెండు అంకెలు/4 చెస్తే వచ్చు బాగఫలం) చేయగా వచ్చు శేషమే జవాబు
07+17+3+6+4(17/4లభ.ఫ)/7 = ల యొక్క శేషం = 2
2 అంటే మంగళవారం
Q. 10-05-1990 నాడు ఏమి వారం?
జ. 10+90+1+0+22/7 = ల యొక్క శేషం =4
4 అంటే గురువారం
Q. నేడు సోమవారము అయినా 32 రోజుల తరువాత ఏ వారం వచ్చును? ల యొక్క శేషం =4
4 అంటే గురువారం
జ. నేడు ---> సోమవారము (1)
32 ----> 32/7 అదనపు రోజులు 4 = 4+1=5
5 అనగా శుక్రవారం
Q.నేడు మంగళవారం అయినా 57 రోజుల తరువాత ఏ వారం వాచ్చును? అదనపు రోజులు 4 = 4+1=5
5 అనగా శుక్రవారం
జ. నేడు ---> మంగళ(2)
57 ---> 57/7 అదనపు రోజులు 1 = 1+2= 3
3 అనగా బుధవారము
Q. నేడు శనివారము అయినా 73 రోజుల క్రితం ఏ వారం అగును?
జ. నేడు ---> శనివారము = 6
73 ---> 73/7 అదనపు రోజులు 3 = 3-6= 3(క్రితం అంటే - చెయ్యాలి)
3 అనగా బుధవారము
Q. నేడు శుక్రవారము అయినా 89 రోజుల క్రితం ఏ వారం అగును?
జ. నేడు --->శుక్రవారము=5
89 ---> 89/7 అదనపు రోజులు 5 = 5-5= 0
0 అనగా ఆదివారము
Q. ఏప్రియల్ 3,2012 సోమవారము అయినచో అదే సంవత్సరంలో ఆగష్టు 1 ఏ వారము అగును?
జ. సోమవారము = 1
ఏప్రి--27
మే --31
జూన్ --30
జులై --31
ఆగష్టు --1 మొత్తం కూడగా 120 రోజులు
120/7 అదనపు రోజులు = 1 రోజు
1+1 =2 అనగా మంగళవారము
Q. డిసెంబర్ 5,2012 నాడు శనివారము అయినా సెప్టెంబర్15,2012 న ఏమి వారము?
జ. శనివారము = 6
సెప్టెంబర్ ---15
అక్టొబర్ ----31
నవంబర్ ---30
డిసెంబర్ ---5 మొత్తం 81/7 = 4-6= 2 మంగళవారము
Q. 2096 వ సంవత్సరము తరువాత వచ్చు లీపు సంవత్సరము ఏది?
జ. లీపు సంవత్సరము వచ్చేవరకు 4 ను కుడుతూపోవాలి
2096+4 = 2100 ఇది శతాబ్దిక సంవత్సరము కావున 400 చే బాగించబడాలి కావున ఇది లీపు సంవత్సరము కాదు
2100+4 =2104 ఇది లీపు సంవత్సరం
Q. 2196 తరువాత వచ్చు లీపు సంవత్సరము ఏది?
జ. 2196+4 = 2200 లీపు సంవత్సరం కాదు
2200+4 = 2204 లీపు సంవత్సరము
Q. 1996 తరువాత వచ్చు లీపు సంవత్సరము ఏది?
జ.1996+4 = 2000 లీపు సంవత్సరం
Q. జనవరి 20,2016 గురువారము అయినచో జనువరి 20,2017 ఏవారము అగును?
జ. గురువారము = 4
2016 లీపు సంవత్సరము కావున 2 అదనపు రోజులు వుంటాయి
2+4 = 6 అంటే శనివారము అగును
Q. ఆగష్టు 15,2004 బుధవారం అయినచో ఆగష్టు 15,2009 ఏవారము అగును?
జ. బుధవారం = 3
ఆగష్టు 15,2004
ఆగష్టు 15,2009
మొత్తం 6 అదనపు (2008 లీపు సం..)రోజులు + 3 = 9/7
= 2 అంటే మంగళవారము
Q. ఒక సంవత్సరంలో ఏప్రియల్ నెలను పోలిన నెల ఏది ?
జ. అప్రియల్ - 2 అదనపు రోజులు
మే - 3 అదనపు రోజులు
జూన్ - 2 అదనపు రోజులు
మొత్తం 7 అదనపు రోజులు కావున జులై నెల ఏప్రియల్ నెలను పోలి వుంటుంది
Q. ఒక సంవత్సరంలోమార్చ్ నెలను పోలిన నెల ఏది ?
జ. మర్చ్ - 3
ఏప్రియల్ --2
మే --3
జూన్ -- 2
జులై --3
అగష్టు --3
సెప్టెంబరు -2
అక్టోబరు - 3
మొత్తం అదనపు రోజులు 21
21/7 కావున నవంబరు నెల మార్చ్ నెలను పోలి వుంటుంది.
Q.2005 ను పోలిన సంవత్సరము?
జ. 2005-1
2006-1
2007-1
2008-2
2009-1
2010-1 మొత్తం 7 అదనపు రోజులు కావున 2011 సంవత్సరము 2005 ను పోలిన సంవత్సరము
Q.1987 ను పోలిన సంవత్సరము 1987 తర్వాత ఏప్పుడు వచ్చును?
జ. 1987-1
1988-2
1989-1
1990-1
1991-1
1992-2
1993-1
1994-1
1995-1
1996-2
1997-1
మొత్తం 14 అదనపు రోజులు కావున 1998 సం.1987సం.ను పోలివుండును

వయస్సులు(AGES)

Q. 3 సంవత్సరాల క్రితం A యొక్క వయస్సు 18 సంవత్సరాలు. 2 సంవత్సరాల తర్వాత అతని వయస్సు ఎంత?

జ. 18+3 = 21+2 = 23
Q. 5 సంవత్సరాల తర్వాత A యొక్క వయస్సు 30 సంవత్సరాలు. అయినా 3 సంవత్సరాలకు క్రితం అతని వయస్సు ఎంత?
జ.  30−5 = 25−3 = 22 సంవత్సరాలు
Q. 5 సంవత్సరాల క్రితం A,B ల వయస్సుల మొత్తం 30 సంవత్సరాలు అయినా ప్రస్తుతం వారి వయస్సుల మొత్తం ఎంత?
జ. 30+10 = 40
Q. A,B ల వయస్సుల మొత్తం 60 సంవత్సరాలు, వారి వయస్సుల మద్య నిష్పత్తి 3:2 అయినా A వయస్సు ఎంత?
జ.   3:2 లోని మొత్తం బాగాలు 3+2 =5  
3/5×60 = 36
Q. A,B,C ల వయస్సుల మొత్తం75 సంవత్సరాలు, వారి వయస్సుల మద్య నిష్పత్తి 7:5:3 అయినా C వయస్సు ఎంత?
జ.  7:5:3 లోని మొత్తం బాగాలు 7+5+3 =15
  3/15×75 = 15
Q. A,B ల వయస్సుల మొత్తం 24 సంవత్సరాలు A వయస్సు B వయస్సుకు 3 రెట్లు అయిన A వయస్సు ఎంత?
జ. A:B
  3:1
3/4×24 = 18 సంవత్సరాలు.
Q. A,B ల వయస్సుల మొత్తం 40 సంవత్సరాలు A వయస్సు B వయస్సులో 60% అయిన A వయస్సు ఎంత?
జ. A:B
  60:100
   4:5 
3/8×40 = 15 సంవత్సరాలు.
Q. 5 సంవత్సరాల క్రితంA,B ల వయస్సుల మొత్తం 40 సంవత్సరాలు.ప్రస్తుతం వారి వయస్సుల మద్య నిష్పత్తి 3:2 అయినా A వయస్సు ఎంత?
జ.  ప్రస్తుతం వారి వయస్సుల మొత్తం = 40+10 = 50
   3:2
3/5×50 = 30
Q. 6 సంవత్సరాల తర్వాత A,B ల వయస్సుల మొత్తం 60 సంవత్సరాలు.ప్రస్తుతం వారి వయస్సుల మద్య నిష్పత్తి 7:5 అయిన A వయస్సు ఎంత?
జ.  60-12 = 48
   7:5 ⇒ A వయస్సు = 7/12×48 =28 సంవత్సరాలు
   B వయస్సు = 5/12×48 =20 సంవత్సరాలు
Q. A,B ల వయస్సుల మొత్తం 30 సంవత్సరాలు 5 సంవత్సరాల తర్వాత వారి వయస్సుల మద్య నిష్పత్తి 5:3 అయినా ప్రస్తుతం A వయస్సు ఎంత?
జ.  30+10 = 40
   5:3 ⇒ 5/8×40 = 25-5 =20 సంవత్సరాలు
Q. A,B ల వయస్సుల మొత్తం 80 సంవత్సరాలు 4 సంవత్సరాల క్రితం వారి వయస్సుల మద్య నిష్పత్తి 7:5 అయినా ప్రస్తుతం A వయస్సు ఎంత?
జ. 80-8 = 72
   7:5 ⇒ 7/12×72 = 42+4 =46 సంవత్సరాలు
Q. తండ్రి కొడుకుల వయస్సుల మొత్తం 50 సంవత్సరాలు. 5 సంవత్సరాల తర్వాత తండ్రి వయస్సు కొడుకు వయస్సుకు రెట్టింపు.అయినా ప్రస్తుతం తండ్రి వయస్సు ఎంత?
జ.  50+10 = 60
   2:1 ⇒ ప్రస్తుతం తండ్రి వయస్సు = 2/3×60 = 40-5 = 35 సంవత్సరాలు
  ప్రస్తుతం కొడుకు వయస్సు = 1/3×60 = 20-5 = 15 సంవత్సరాలు
Q.తల్లీ కూతురుల వయస్సుల మొత్తం 60 సంవత్సరాలు, 5 సంవత్సరాల క్రితం తల్లి వయస్సు కూతురు వయస్సుకు 4 రెట్లు అయినా ప్రస్తుతం కూతురు వయస్సు ఎంత?
జ.  60-10 = 50
  4:1 ⇒ ప్రస్తుతం కూతురు వయస్సు = 1/5×50 = 10+5 = 15 సంవత్సరాలు
   ప్రస్తుతం తల్లి వయస్సు = 4/5×50 = 40+5 = 45 సంవత్సరాలు
Q. A,B ల వయస్సుల మద్య నిష్పత్తి 5:3, 4 సంవత్సరాల తర్వాత వారి వస్సుల మద్య నిష్పత్తి 11:7 అయినా A వయస్సు ఎంత?
జ.  5:3 = 11:7 ⇒ 5×7-3×11 = 35-33 = 2
  11-7 = 4
   A వయస్సు = (ప్రస్తుత A నిష్పత్తి బాగం(5) × 4 సంవత్సరాల తర్వాత(4 ) × 4 సంవత్సరాల తర్వాత నిష్పత్తి మద్య తేడా(11-7 =4))/ప్రస్తుత నిష్పత్తి మద్యతేడా(2)
   A వయస్సు = 5*4*4/2 = 40 సంవత్సరాలు
Q. A,B ల వయస్సుల మద్య నిష్పత్తి 8:5, 6 సంవత్సరాల క్రితం వారి వస్సుల మద్య నిష్పత్తి 7:4 అయినా B వయస్సు ఎంత?
జ.  8:5= 7:4 ⇒8×4-5×7 = 32-35 = 3
   7-4= 3
   B వయస్సు = 5*6*3/3 = 30 సంవత్సరాలు
   A వయస్సు = 8*6*3/3 = 48 సంవత్సరాలు
Q. x,y ల వయస్సు మద్య నిష్పత్తి 5:6, 7 సంవత్సరాల తర్వాత వారి వయస్సుల మద్య నిష్పత్తి 6:7 అయినా x వయస్సు ఎంత?
జ.  5:6
  6:7 ⇒ 5*7*1/1 = 35

ధన్యవాదాలు.